پاسخ کار درکلاس صفحه 44 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 44 ریاضی دهم - مسئله ۱ (الف) سلام دانش‌آموزان عزیز! این تمرین بر پایه‌ی استفاده از **اتحادهای جبری** در ترکیب با **اتحادهای مثلثاتی** است. هدف، اثبات درستی یک تساوی مثلثاتی است. ### **بررسی درستی تساوی $\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta$** ما از **طرف چپ** شروع می‌کنیم و تلاش می‌کنیم به **طرف راست** برسیم. **گام ۱: استفاده از اتحاد مزدوج** طرف چپ ($$\sin^4 \theta - \cos^4 \theta$$) را به صورت تفاضل مربع دو جمله در نظر می‌گیریم: $$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$$ که در اینجا $A = \sin^2 \theta$ و $B = \cos^2 \theta$ است. $$\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) \times (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$$ **گام ۲: استفاده از اتحاد اساسی مثلثات** از **اتحاد اساسی مثلثات** می‌دانیم که **$$\mathbf{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}$$**. حالا این مقدار را در عبارت جایگذاری می‌کنیم: $$\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) \times \mathbf{1}$$ $$\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = \mathbf{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}$$ **پاسخ جاهای خالی و نتیجه:** طرف چپ: $$\sin^4 \theta - \cos^4 \theta \stackrel{\text{اتحاد مزدوج}}{=} (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) \times (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \mathbf{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}$$ نتیجه: چون طرف چپ (بعد از ساده‌سازی) با طرف راست برابر شد، درستی تساوی **تأیید می‌شود**.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 44 ریاضی دهم - مسئله ۱ (ب) هدف در اینجا اثبات درستی یک تساوی دیگر است. از آنجایی که تساوی دارای چهار نسبت مثلثاتی مختلف است، بهتر است با تبدیل عبارت‌ها به **سینوس و کسینوس** یا با استفاده از **توزیع کسر**، اثبات را انجام دهیم. در اینجا، سوال با ساده‌سازی طرف راست آغاز شده است. ### **بررسی درستی تساوی $\frac{1}{\cos \alpha} + \cot \alpha = \frac{\tan \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}$** **گام ۱: توزیع کسر در طرف راست** $$\text{طرف راست} = \frac{\tan \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\tan \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$ **گام ۲: ساده‌سازی جمله‌ی دوم** $$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \mathbf{\cot \alpha}$$ **گام ۳: ساده‌سازی جمله‌ی اول** در جمله‌ی اول، $\tan \alpha$ را به $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ تبدیل می‌کنیم: $$\frac{\tan \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\sin \alpha}$$ $$\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \times \frac{1}{\sin \alpha}$$ $$\text{با حذف } \sin \alpha \text{ از صورت و مخرج:}$$ $$\frac{1}{\cos \alpha}$$ **گام ۴: جایگذاری و نتیجه‌گیری** حالا نتایج را در عبارت جایگذاری می‌کنیم: $$\text{طرف راست} = \frac{1}{\cos \alpha} + \cot \alpha$$ این عبارت دقیقاً برابر با **طرف چپ** تساوی اصلی است. درستی تساوی **تأیید می‌شود**. **پاسخ جاهای خالی:** طرف راست: $$\frac{\tan \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\tan \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\sin \alpha} + \mathbf{\cot \alpha} = \mathbf{\frac{1}{\cos \alpha}} + \mathbf{\cot \alpha}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 44 ریاضی دهم - مسئله ۲ یک **اتحاد مثلثاتی** تساوی‌ای است که برای **تمام مقادیر مجاز** زاویه‌ی $\alpha$ برقرار باشد. برای بررسی، باید طرف چپ را با استفاده از **اتحادهای جبری** و **اتحاد اساسی مثلثات** ساده کنیم. ### **بررسی طرف چپ: ساده‌سازی $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$** از **اتحاد مربع مجموع** استفاده می‌کنیم: $$(A + B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB$$ * $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$ را می‌توان به صورت $A^2 + B^2$ در نظر گرفت، که در آن $A = \sin^2 \alpha$ و $B = \cos^2 \alpha$. $$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 (\sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha)$$ **گام ۲: استفاده از اتحاد اساسی مثلثات** می‌دانیم که **$$\mathbf{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}$$**. $$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\mathbf{1})^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$$ $$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = \mathbf{1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$$ ### **نتیجه‌گیری** مقدار ساده‌شده‌ی طرف چپ با **تساوی (ب)** برابر است. بنابراین، تساوی (ب) یک اتحاد است. * **تساوی الف:** $$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$$ (نادرست، توان‌ها با هم تطابق ندارند.) * **تساوی ب:** $$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$$ (**صحیح**) **پاسخ نهایی:** تساوی **(ب)** یک اتحاد است. زیرا با استفاده از اتحاد جبری مربع کامل و رابطه‌ی اساسی مثلثات ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$)، می‌توان نشان داد که طرف چپ به طرف راست تبدیل می‌شود: $$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (1)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 44 ریاضی دهم - مسئله ۳ این تمرین در مورد **ایجاد یک اتحاد جدید** از اتحادهای موجود و اثبات آن است. این کار به شما نشان می‌دهد که چطور همه‌ی روابط مثلثاتی به هم مرتبط هستند. ### **گام ۱: ایجاد اتحاد جدید** اتحاد داده شده: $$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ دو طرف را در $\cot^2 \alpha$ ضرب می‌کنیم: $$\cot^2 \alpha \left( 1 + \tan^2 \alpha \right) = \cot^2 \alpha \left( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \right)$$ $$ \cot^2 \alpha + \cot^2 \alpha \tan^2 \alpha = \frac{\cot^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \quad \mathbf{(I)}$$ ### **گام ۲: ساده‌سازی طرف چپ** از **رابطه‌ی وارون** می‌دانیم که **$$\mathbf{\tan \alpha \times \cot \alpha = 1}$$**. $$\cot^2 \alpha \tan^2 \alpha = (\cot \alpha \tan \alpha)^2 = 1^2 = 1$$ پس طرف چپ اتحاد جدید به صورت زیر ساده می‌شود: $$\text{طرف چپ} = \mathbf{\cot^2 \alpha + 1}$$ ### **گام ۳: ساده‌سازی طرف راست** از رابطه‌ی کتانژانت بر حسب کسینوس و سینوس استفاده می‌کنیم: $$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$ $$\text{طرف راست} = \frac{\cot^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)^2}{\cos^2 \alpha}$$ $$\text{طرف راست} = \frac{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \times \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ با حذف $\cos^2 \alpha$ از صورت و مخرج: $$\text{طرف راست} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$ ### **گام ۴: اثبات درستی** طرف چپ ساده‌شده: $\cot^2 \alpha + 1$ طرف راست ساده‌شده: $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$ در نتیجه، اتحاد جدیدی که ساخته شده به صورت زیر است: $$\mathbf{1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}}$$ این رابطه همان **اتحاد شماره ۲** است که در بخش قبلی اثبات شد. **درستی آن تأیید می‌شود.**